Opérations sur les vecteurs

Définition

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs ; soit \(\text A, \text B,\text C\) trois points tels que \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) et   \(\vec{v}=\vec{\text A\text C}\) . 
La somme \(\vec{u}+\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{w}=\vec{\text A\text D}\) tel que \(\text A,\text B,\text C,\text D\) forment un parallélogramme.

Propriété Relation de Chasles

Pour tout point \(\text A,\text B,\text C\) , \(\vec{\text A\text B}+\vec{\text B\text C}=\vec{\text A\text C}\) .

Propriétés  (admises)

Soit   \(\vec{u}\) , \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs. La somme de vecteurs :

• est commutative : si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs, on a  \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)  ;
  
• est associative : si \(\vec{u}\) , \(\vec{v}\)   et \(\vec{w}\) sont trois vecteurs, on a  \((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\)  ;
  
• possède un élément neutre, le vecteur nul     \(\vec{0}\) : pour tout vecteur \(\vec{u}\) , on a \(\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}\) . Cela entraîne l'existence de l'opposé de  \(\vec{u}\) noté  \(-\vec{u}\) . On a  \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\) .